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Notions de métrologie

Adapté par Azyat Abdelilah

1. Généralités sur la mesure

Introduction

La métrologie est la science de la mesure qui définit l’opération ou l’ensemble des opérations de mesure permettant de déterminer avecprécision la ou les valeurs des grandeurs à mesurer et garantir la confiance envers cette mesure.

Mesurer une grandeur physique consiste à lui attribuer une valeur quantitative en prenant pour référence une grandeur de même nature appelée unité. Autrement dit connaître une grandeur par un procédé ou bien un mesurage par comparaison avec une grandeur de même nature prise comme une unité de référence. Le résultat obtenu est toujours entaché d’une erreur liée au principe au dispositif de mesure, aux appareils, à l’environnement et à l’opérateur aussi.

Toutes les infrastructures doivent fonctionner en respectant les normes de l’organisation internationale de la métrologie. Dans les différents domaines, par exemple : normes alimentaires, localisation par satellites ou par une autre technique, urbain, diagnostics médicaux, règles d’échanges de biens internationaux, etc.

La métrologie s’intéresse à la détermination des grandeurs qui peuvent être : fondamentales : une longueur, une masse, un temps, etc. ou dérivées des grandeurs fondamentales, par exemple, une surface, une vitesse…

Rôle de la métrologie

La métrologie permet d’avoir des résultats servant à prendre des décisions dans de nombreux usages :

Acceptation d’un produit (mesure de caractéristiques, de performances, conformité à une exigence), contrôle et assurance de qualité,
Réglage d’un instrument de mesure, validation d’un procédé,
Etalonnage des étalons et de l’appareillage,
Réglage d’un paramètre dans le cadre d’un contrôle d’un procédé de fabrication,
Validation d’une hypothèse scientifique,
Protection de l’environnement,
Définition des conditions de sécurité d’un produit ou d’un système…

- Quelques vocabulaires

Les vocabulaires utilisés en métrologie sont bien codifiés par le Vocabulaire International de Métrologie (VIM)[1]. Dans le contexte de ce chapitre nous n’avons pas reprendre tous les mots, pourtant, nous citons les couramment utilisés, à savoir :

Mesurande (en anglais measurand) : grandeur que l’on veut mesurer,

Mesurage (mesure) : processus utilisé pour obtenir expérimentalement une ou plusieurs valeurs à attribuer à une grandeur,

Étalon : c’est la définition d’une grandeur donnée, avec une valeur déterminée et une incertitude de mesure associée, utilisée comme référence,

Étalonnage (en anglais calibration) : l’ensemble des opérations établissant, dans des conditions spécifiques, la relation entre les valeurs de la grandeur indiquée par un appareil de mesure ou un système de mesure, et les valeurs correspondantes de la grandeur réalisée par les étalons.

[1] https://www.bipm.org/fr/publications/guides/vim.html

Représenter la mesure : Système International d'unité

Unités de base

Le Système international d’unités (SI) est composé de sept unités de base adoptées au niveau international (table 1). C’est le système d’unité le plus largement utilisé. Ces unités les suivantes :

Table 1 Les unités de base
Grandeur	Unité SI	Symbole
Longueur	mètre	m
Masse	kilogramme	kg
Temps	seconde	s
Courant électrique	ampère	A
Température thermodynamique	kelvin	K
Quantité de matière	mole	mol
Intensité lumineuse	candela	cd

Pour faciliter la lecture des mesures, les nombres sont représentés par tranches de trois chiffres séparés par espace, mais pas par un point ou une virgule.

Pourtant, en français, la virgule est obligatoire pour séparer la partie entière de la partie décimale.

Par contre, en anglais, c’est le point. Il est recommandé d’utiliser les puissances de 10 ou les préfixes (Table 4)

Unités dérivées

Les unités dérivées font partie du système international d’unités et sont déduites des unités de base. Certaines unités dérivées ont reçu un nom spécial (Table 2) qui peut à son tour, être utilisé pour former d’autres noms d’unités (Table 3).

Table 2 exemples d’unités SI dérivées exprimées en fonction des unités de base
Grandeur	Nom	Symbole
superficie	mètre carré	m²
volume	mètre cube	m³
vitesse	mètre par seconde	m.s^-1
accélération	mètre par seconde carré	m.s^-2
nombre d’ondes	mètre à la puissance moins un	m^-1
masse volumique	kilogramme par mètre cube	kg.m^-3
volume massique	mètre cube par kilogramme	m³.kg^-1
densité de courant	ampère par mètre carré	A.m^-2
champ magnétique	ampère par mètre	A.m^-1
concentration (quantité de matière)	mole par mètre cube	mol.m^-3
luminance lumineuse	cadela par mètre carré	cd.m^-2
…	…	…

Table 4 les préfixes SI
Multiples			Sous-multiples
*Facteur*	*Nom*	*Symbole*	*Facteur*	*Nom*	*Symbole*
10²⁴	yotta	Y	10^–1	déci	d
10²¹	zetta	Z	10^–2	centi	c
10¹⁸	exa	E	10^–3	milli	m
10¹⁵	péta	P	10^–6	micro	µ
10¹²	téra	T	10^–9	nano	n
10⁹	giga	G	10^–12	pico	p
10⁶	méga	M	10^–15	femto	f
10³	kilo	k	10^–18	atto	a
10²	hecto	h	10^–21	zepto	z
10¹	déca	da	10^–24	yocto	y

2. Systèmes de mesure

En général, un système de mesure est constitué de quatre parties (voir figure 1) : le capteur qui transforme une grandeur physique en un signal généralement de nature électrique, le conditionneur de signaux qui adapte le signal du capteur pour en modifier l’amplitude ou pour un filtre, la sortie qui permet d’exploiter le signale utile par la lecture de la valeur mesurée.

Un système de contrôle peut être envisagé dans le cas où le système de mesure est inclus dans un contrôle de processus.

Le capteur utilise un phénomène ou une loi physique réagissant à la grandeur physique à mesurer et assure sa transformation en un signal électrique, optique ou mécanique facile à manipuler et à quantifier. Les différents types de capteurs et leurs fonctionnements seront décrits plus en détail par la suite.

Un système de mesure doit garantir la qualité de l’ensemble du processus de mesure, respecter une norme ou de garantir la fiabilité d’un composant en assurant la qualité des mesures,

Capteur de façon générique, un élément de mesure ayant une sortie analogique électrique de niveau bas.
Capteur-transmetteur est un élément de mesure ayant une sortie analogique électrique de niveau haut

Codeur est élément de mesure ayant une sortie numérique.
Compteur est élément de mesure ayant une sortie numérique envoyant les signaux en série (encodeur incrémental).
Détecteur est élément de mesure ayant une sortie logique ; évoluant selon deux états possibles, selon la valeur du mesurande par rapport à un seuil (sortie TOR).

3. Caractéristiques métrologiques d’un système de mesure

Étendue du mesurage

L’étendue de mesure E correspond à la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la gamme de mesure,

c.-à-d. E = X_max – X_min.

Etalonnage

C’est un réglage ou une caractérisation de la réponse de l’appareil, (capteurs, instruments de mesure),

Généralement on utilise des grandeurs de référence ou étalons pour faire l’étalonnage.

L’étalonnage consiste à appliquer une valeur connue en entrée du système de mesure afin de vérifier que la sortie correspond bien à la valeur attendue. Expérimentalement, en entrant différentes valeurs connues et on mesure en sortie les puis on trace la courbe d’étalonnage y = f(x) de l’instrument (voir figure 4) qui permet de relier la valeur lue en sortie notée y à la vraie valeur de la grandeur physique à mesurer notée

Sensibilité

La sensibilité est la variation du signal de sortie y d’un appareil de mesure en fonction de la variation du signal d’entrée x (figure ci-contre). Elle peut définir la sensibilité de l’instrument au voisinage d’une valeur d’entrée donnée par la relation : S = ∆y/∆x

Elle permet de mesurer l’influence d’un changement de la valeur d’entrée sur la valeur de sortie.

Résolution

La résolution d’un appareil de mesure est la plus faible variation du mesurande qui
provoque une variation de la grandeur de sortie ; elle représente la plus petite variation de la grandeur d’entrée que le système de mesure sera capable d’identifier.

Lorsque l’appareil de mesure est un appareil numérique, la résolution est définie par le
rapport entre l’étendue de mesure et le nombre de points de mesure.

Linéarité

C’est la déviation maximale de la sortie d’un appareil de mesure par rapport à la
courbe d’étalonnage. Dans ce cas, la caractéristique du capteur n’est pas une droite.

C’est une caractéristique qui définit la constance de la sensibilité sur toute la plage de mesure.

Le polynôme de l’équation décrivant la relation entre le signal d’entrée x et le signal de sortie y doit être de premier degré (y = mx + b) pour que le capteur soit considéré comme linéaire.

L’écart de linéarité est exprimé par un pourcentage de l’étendue de mesure.

Hystérésis

Un système présente une courbe d’hystérésis lorsque la grandeur de sortie ne dépend pas uniquement de la valeur du mesurande, mais aussi de la façon dont elle a été atteinte.

L’hystérésis est définie par l’amplitude de l’écart maximum exprime en pourcentage de l’´étendue de mesure.

Précision

La précision d’une mesure est la différence entre la valeur mesurée et la valeur vraie du mesurande. Elle peut être définie par rapport à la valeur vraie ou par rapport à la pleine échelle, et elle s’exprime en % :

Précision (par rapport à la valeur vraie) = Précision (par rapport à la pleine échelle) =

Répétabilité :
Ecart observé lors de mesurages successifs d’une même grandeur dans des conditions identiques (même opérateur, même lieu, mesures effectuées successivement dans une courte période de temps, même méthode).

Une mesure est répétable lorsque l’on vérifie la proximité de l’accord entre les résultats des mesures successives du même mesurande, effectuées dans les mêmes conditions de mesure :

même procédé de mesure,
même observateur,
même instrument de mesure, utilisé dans les mêmes conditions
même emplacement,
répétition sur une courte période de temps.

Reproductibilité :

L’écart observé lors de mesurages successifs d’une même grandeur en faisant varier
les conditions (changement d’opérateur, de lieu, de temps, de méthode).

Une mesure est reproductible lorsque l’on vérifie la proximité de l’accord entre les résultats des mesures du même mesurande, effectuées dans des conditions de mesure différentes.

C’est la mesure du même échantillon avec la même méthode mais dans un laboratoire diffèrent avec des personnes différentes et des équipements différents.

Exactitude :

Aptitude d’un instrument de mesure à donner des indications proches de la valeur vraie d’une grandeur mesurée.
L’exactitude représente la qualité globale de l’instrument, dans des conditions données.

L’erreur d’exactitude comprend l’erreur de justesse et l’erreur de fidélité.
L’exactitude correspond à l’incertitude de mesure de l’instrument.

3. Mesure, erreurs, incertitudes

Il existe deux méthodes de mesure :

mesure direct : le résultat de la mesure est obtenu par comparaison à un étalon de même nature que la grandeur mesurée, comme la pesée, mesure d’une distance…
mesure indirect : quand une grandeur Y est liée à des grandeurs X₁, X₂, …, X_k par une relation du type : Y = f (X₁, X₂, …, X_k).

Exemple : la valeur de l’aire S d’une surface rectangulaire se calcule à partir de la mesure de la longueur L et de la largeur l et en appliquant la relation S = Ll.

Définitions d’erreur et d’incertitude en métrologie

L’erreur de mesure est définie comme la différence entre la valeur annoncée et la valeur vraie. Cette valeur annoncée sera généralement obtenue par une opération de moyenne de plusieurs mesures. On distingue deux types d’erreurs :

Erreur absolue

Erreur relative

Elle est caractérisée par une valeur absolue,

Erreur de mesure = X-X _référence

ΔX = X – Xe

C’est une erreur qui présente un caractère systématique et répétitif

C’est le quotient de l’erreur absolue par la valeur «vraie»
ΔX_r = ΔX/Xe

L’erreur relative généralement n’est pas signée.

L’incertitude de mesure caractérise la dispersion des mesurages autour de la valeur moyenne de ces mesurages (voir figure ). On parle d’incertitude absolue, d’incertitude relative ou de précision sur les résultats de la mesure, les résultats doivent présentés sous la forme suivant :

Résultat de la mesure = Valeur annoncée ± incertitude [unités]

L’incertitude affichée peut être :

Incertitude absolue Ux ; elle a les mêmes unités que la grandeur X
Incertitude relative Ur= Ux/X ; elle est sans dimensions et souvent donné en %.

Types d’erreurs/d’écarts

Les erreurs peuvent être décomposées en erreurs systématiques et erreurs aléatoires.

L’erreur systématique (notée es) est la moyenne qui résulterait d’un nombre infini de mesurages du même mesurande, effectués dans des conditions de répétabilité, moins une
valeur vraie du mesurande.

Erreurs systématique sont celles qui n’ont aucun caractère aléatoire. La mesure dans des conditions identiques donne toujours la même erreur par rapport à la valeur vraie.

Les sources usuelles d’erreurs systématiques sont :

mauvais étalonnage du zéro, de la pleine échelle,
prise en compte d’un facteur de gain erroné,
erreur liée au principe même du capteur (non linéarité intrinsèque…),
erreur liée à l’emploi du capteur (par exemple, mauvaise jonction thermique d’un thermomètre avec le corps à mesurer).

Erreur aléatoire (notée ea) est le résultat d’une mesure moins la moyenne d’un nombre infini de mesurages du même mesurande effectués dans des conditions de répétabilité.

Erreur aléatoire

(notée ea) est le résultat d’une mesure moins la moyenne d’un nombre infini de mesurages du même mesurande effectués dans des conditions de répétabilité.

Il faut noter que comme on ne peut faire qu’un nombre limité de mesurages, il est seulement possible de déterminer une estimation de l’erreur aléatoire. Cela veut dire que l’erreur aléatoire a elle-même une incertitude associée.

Elles ne peuvent pas être déterminés ni en valeur ni en signe. Les causes peuvent être, par exemple, des fluctuations inconnues de la force de mesure et de la température, ou bien d’autres…

Généralement, elles proviennent des caractéristiques de l’appareillage, de la technique utilisée, et même de l’intervention du manipulateur. Elles sont dues aux :

seuil de mesure (plus petite valeur mesurable),
résolution (plus petite variation mesurable),
hystérésis, parasites, influences du milieu sur le capteur,

Elles sont estimées soit en comparant statistiquement les résultats d’expériences répétées, soit en effectuant un calcul d’incertitude. L’objet du calcul d’incertitude est justement d’évaluer quantitativement la dispersion des résultats.

Évaluation des incertitudes :

Bien qu’un instrument de mesure soit construit sur un étalon, cependant, cet instrument possède également une certaine précision. Il existe deux méthodes pour évaluer l’incertitude de mesures ; évaluations de type A et de type B :

Évaluation de type A :
C’est le cas où l’opérateur fait toute une série de mesures. Le traitement des erreurs est basé sur des méthodes statistiques : moyenne, écart-type, etc. Cette évaluation se fait lorsqu’on a peu d’indications sur les sources d’erreurs.

Évaluation de type B :
C’est une méthode qui est utilisée lorsqu’il est difficile ou impossible de faire un traitement statistique, et c’est le cas de la mesure unique.

On doit chercher à évaluer les sources d’erreurs en utilisant les informations fournies par le constructeur de l’instrument de mesure telles que : la classe de l’appareil, le calibre, la résolution, etc. En plus, il est nécessaire d’avoir une connaissance générale sur l’expérience.

Évaluation de l’incertitude de mesure sur une mesure unique (« méthode de type B »)

Le calcul s’effectue en quatre étapes :
– Étape 1 : estimation des erreurs de mesure
a) cas d’un appareil analogique à aiguille :

lecture de x : si l’échelle de graduation comporte N divisions, et si la lecture indique n divisions, alors : x = (n . calibre) / N
erreur ε: elle est fonction de la classe de l’appareil :

ε = (classe . calibre)/100

Exemple :

calibre 10V ; 200 divisions ; classe 0,5 ; mesure : U = 5,25 V

⇒ ε = (0,5 ×10)/100 = 0,05 V

4. Incertitudes sur une mesure composée : loi de propagation

Un appareil de mesure est souvent constitué de plusieurs composants, chacun d’entre eux pouvant être sujet à des erreurs systématiques et aléatoires.

On peut évaluer les erreurs de chaque composant et les combiner pour avoir l’erreur totale du système de mesure.

Les mesures effectuées en physique sont le plus souvent indirectes, c’est‐à‐dire que le résultat final d’une expérience ne consiste pas en la mesure (répétée ou non) d’un seul paramètre, mais de plusieurs grandeurs qui, liées par une loi physique, conduisent au résultat cherché.

Chacune de ces grandeurs a une certaine incertitude ; le résultat de la mesure en comportera aussi une qui dépend des incertitudes individuelles.

Méthode classique :

En fait, on trouve deux méthodes pour calculer les incertitudes composées ; la méthode classique qui est n’est pas encore utilisée aujourd’hui, bien qu’il facilite le calcul. Cependant, le GUM adopte une nouvelle méthode plus précise par rapport à la première et qui se base sur la moyenne quadratique.

Le principe consiste donc à calculer la dérivée partielle (notée ∂f /∂xi ) de la fonction f par rapport à chaque variable xi, qui représente l’accroissement de la fonction f pour une petite
variation de la variable xi .

Rappel : la dérivée partielle d’une fonction par rapport à une variable xi consiste à dériver la fonction par rapport à xi en considérant toutes les autres variables comme des constantes. Plus généralement, on aura pour une fonction de plusieurs variables f(x1, x2, x3,…) ;

Exemple de quelques cas particuliers

L’application de la propagation des incertitudes décrite par la formule générale ci-dessus devient particulièrement simple dans les cas suivants, souvent rencontrés en pratique : Somme/différence: lorsque la grandeur composée n’est constituée que de sommes ou de différences:

y = x1 ± x2 ± x3± …, alors Δy=Δx1+Δx2+Δx3+… (2)

Remarque : Dans une somme ou une différence, les erreurs absolues s’additionnent.

Produit/quotient : lorsque la grandeur composée n’est constituée que de produits ou de quotients :

Remarque : Dans un produit ou un quotient, les erreurs relatives s’additionnent.

Produit de puissances : lorsque la grandeur composée n’est constituée que d’un produit de puissances.

Dans les autres cas (par exemple si le mesurande est une fonction qui présente de relations trigonométriques, de logarithmes, de racines, etc., la formule générale (1) doit être utilisée en calculant toutes les dérivées partielles.

Utilisation de la différentielle logarithmique

Si la fonction f(x , 𝑦, 𝑧) se présente sous forme de produits et quotients, les calculs sont simplifiés si l’on utilise la différentielle logarithmique.

On calcule, d’abord, l’incertitude relative puis on déduit l’incertitude absolue.
Mais, à condition qu’elle n’a pas la même variable figure à la fois au numérateur et au dénominateur, car il y aura un couplage entre les deux termes.
Il ne faut pas passer aux incertitudes relatives à ce stade du calcul.
Ensuite, il faut séparer les termes en 𝑑𝑥 de ceux en 𝑑𝑦, puis passer aux valeurs absolues.

Exemple

Calculer l’incertitude absolue de la fonction :

(x-y)/(x+y)

Pour séparer les variables on calcule d’abord : ln|f|=ln|x-y|- ln|x+y|

Puis on applique la différentielle, ensuite la différentielle logarithmique ;

Sachant que df=f’/f, on a :